|作者：汪克林 1 曹则贤 2线上杠杆平台，†
(1 中国科学技术大学近代物理系)
(2 中国科学院物理研究所)
本文选自《物理》2026年第3期
摘要在量子力学中，作用于希尔伯特空间中的矢量ψ上满足对易关系J×J=iℏJ的算符即可称为角动量。角动量与SU(2)群的生成元有相同的对易关系，由后者得到的作为{J2，Jz}共同本征态的表示|jm>常常会被当作量子力学的角动量表示。然而，这样得到的表示是纯代数的，是可能的数学表示之一。轨道角动量J=r×p是物理量，J2似无明确的物理意义，轨道角动量的表示问题应该从物理的角度出发加以考察。本文将轨道角动量算符用升降算符ak+，ak，k=1，2，3，表示，基于与空间参照系相结合的占据态空间表示{n1，n2，n3；nk=0，1，2，…}探讨J2，Jz的本征值问题。利用Jz与守恒量nb=n1+n2的对易性，J2与守恒量nt=n1+n2+n3的对易性，可以轻松得到算符J2和Jz各自的本征态/本征值表达式，其表现出与算符J2和Jz的固有对称性相关联的结构。只有偶发的(J2，Jz)共同本征态，这真实地反映了J2与Jz之间的角色关系。我们的理论可为涉及角动量的量子力学问题，如朗道能级、自旋—轨道耦合等，提供简单有效的求解路径，并有助于发掘本征值/本征态的内在结构。
关键词角动量，轨道角动量，转动群生成元，本征值问题，共同本征态集，升降算符，占据数表示，固有对称性
1 导 言
量子理论发轫于普朗克常数h的引入，最初是在黑体辐射的研究中作为系数使得hν具有能量的量纲[1，2]。然而，很快普朗克就在1906年认识到常数h的意义在于其自身是作用量的量子，1911年更是明确提出其是q—p空间——即相空间——体积的基本单元或曰量子[3]。普朗克常数h与角动量具有相同的量纲，围绕原子中电子运动的量子化努力实际上是量子化角动量及其分量，即将它们表述为ℏ=h/2π的整数倍[4]。角动量理论是量子力学的关键部分，角动量理论的数学工具广泛应用于原子物理、原子核物理和基本粒子理论。
本文探讨轨道角动量表示的问题。因为顾及历史上的表述习惯，会出现符号L和J混用的局面，不影响对问题的讨论。
经典力学里的角动量定义为L=x×p，写成分量形式为Lα=εαβγxβpγ，其中εαβγ是反对称的Levi—Civita符号，满足关系εijkεilm=δjlδkm-δjmδkl。角动量有泊松括号{Lα,Lβ}=εαβγLγ。又，在经典力学里容易证明泊松括号与对易关系[Lα,Lβ]=LαLβ-LβLα之间仅差一个独立常数，即[Lα,Lβ]=λ{Lα,Lβ}。在量子力学中备受关注的是对易关系，若采用直角坐标系，角动量的对易关系为[Lα,Lβ]=iℏεαβγLγ，简记为L×L=iℏL。哈密顿力学的泊松括号表示是量子力学构建的基础。泊松括号，以及相应的对易关系，对于阐明哪个变量是运动常数，在量子力学中则是哪些观测量可以有共同本征态，特别有用。在中心力场下，采用球坐标系，ϕ是周期坐标（注：Cyclic variable，指该坐标对应的运动是周期的，请参考作用量—角变量理论。循环坐标的译法是错误的。)，故Lz=pϕ是守恒量。由泊松括号
，可知
是运动常数。从{L2,H}=0，{Lz,H}=0，则由Jacobi恒等式知{{L2,Lz},H}=0，也就是说{L2,Lz}也是一个运动常数。若采用直角坐标表示，Lx,Ly,Lz的表示形式是相同的，它们之间的泊松括号不为零，但是每一个又都可以与L2同时是运动常数[5]。这是后来的量子力学关注{H,L2,Lz}共同本征态表示问题的缘起。
随着量子力学的发展，角动量的概念得到了扩充。在量子力学中，作用于希尔伯特空间中的矢量ψ上的满足对易关系J×J=iℏJ的算符即可称为角动量。轨道角动量L=x×p，自旋S，以及总角动量L+S，皆为角动量算符。角动量与SU(2)群的生成元遵从相同的对易关系，基于后者得到的表示|jm>常常会被当作角动量的表示[6，7]。由生成元的表示理论，可以得出(J2,Jz)的共同本征态表示|jm>，满足：
这个由外尔1928年得到的群论表示便成了讨论量子力学中的角动量理论的基础[6]。
关于轨道角动量的量子力学处理，在量子力学创立伊始，玻恩—海森堡—约当即在他们的矩阵力学论文中指出：“对于Lx=const.,Ly=const.,Lz=const.都成立的系统，角动量的三个分量不能都是对角矩阵，否则会引出矛盾。这样的系统必定是简并的(Ein solches System ist also notwendig entartet)”[8]。简并体系的量子力学处理要格外小心，它也是量子力学理论的主干。在量子力学的氢原子问题中，关注{H,L2,Lz}的共同本征值问题是为了用L2,Lz的量子数来区分简并的能级，即哈密顿算符H的本征值。
元股证券:ygzq.hk在薛定谔关于氢原子问题的波力学处理中[9]，轨道角动量的z-分量，在球坐标系中表示，为Jz=
。由本征值方程
，解得ψ=Aeimϕ。物理要求ψ是单值函数，这样m只能取整数；相应地，因为m=-j, -j+1, …, j-1, j，可见在这个问题里j只能取整数值，j=0, 1, 2…。相较于从SU(2)群的生成元而来的表示|jm>，这里j的取值受到了限制。或者说，(1)式所指代的表示并不严格地就是角动量的表示。一般量子力学教科书很少对读者指明这一点。此外，薛定谔的处理中隐含着薛定谔方程必须是可分离变量的要求。
长期以来，因为轨道角动量与转动群生成元有相同的对易关系，基于群生成元的表示{|jm>}就被当作了角动量表示。基于转动群生成元的|jm>表示本质上是纯代数的(purely algebraic in nature)。在群表示论的语境中，J2被称为Casimir不变量，见于Hendrik Casimir1931年讨论量子力学中的刚体转动问题的学位论文[10]。SU(2)群的Casimir不变量J2是唯一的。表示{|jm>}中的m是Jz的本征值，而j是Jz的本征值的范围(确切地说，是本征值实部的最大值)而非算符J的本征值！Casimir不变量的本征值可以用来为李代数的表示分类(classify the representations of the Lie algebra)。对于自旋来说，自旋被称为角动量只是基于对易关系的类比，那是与运动无关的内禀自由度，采用这样的代数表示没有问题。1952年Schwinger把角动量都当作一定数目的
的角动量的叠加，未脱离|jm>表示的窠臼[11]。对于作为运动量的轨道角动量，L=x×p，简单地把{|jm>}当作角动量的表示是否合适，大有商榷的余地。比如薛定谔方程涉及的{J2,Jz}共同本征态就排除了j取半整数的可能。
轨道角动量是一个描述运动的物理量。轨道角动量由位置和动量构成，自有它的物理，轨道角动量的表示必须纳入真实物理的考量[12]。有必要回答|jm>形式的表示的具体物理意义是什么。角动量表示牵扯到L2，关注L2的物理意义是什么应不算过分作用量的量纲为乘积。注意到物理量是有量纲的[H×t]或者[x×p]的量纲角动量，不妨理解为角动量的量纲高于能量、动量这些物理量的量纲。轨道角动量平方L2的量纲过高，我们似乎说不上来L2的物理意义是什么。在经典力学和量子力学的中心场问题中它是以的形式纳入哈密顿量的表达式的。J2相较于J是二级算符，{J2,Jz}的共同本征态的意义是什么，共同本征态又有什么样的结构，这是我们在求解角动量本征值时要关注的一个物理因素。
也许，从物理现实出发，从头考察一下{J2,Jz}的共同本征态问题是有意义的。将轨道角动量用物理空间表示会获得更加明确的结论，此前我们已经做了初步的努力[12]。量子力学中有采用升算符自真空中产生用不同占据数表示的状态的做法，
，升降算符a+, a是数算符a+a的本征值的升降算 符。这有点儿类似于角动量理论中J±=Jx±iJy是算符Jz的本征值的升降算符。Schwinger就曾采用与空间参照系相结合的自旋产生、湮灭算符(spin creation and annihilation operators associated with a given spatial reference system)讨论量子力学中的角动量的表示问题。本文中，我们将坐标和动量用无量纲的升降算符a+, a表示，将系统的状态空间用数算符a+a的本征态{|n1, n2, n3>}展开，此正是与空间参照系相结合的表示，这为讨论{J2,Jz}的本征值问题提供了一个一般性的基础，也提供了一个非常简单有效的途径。我们的结果表明Jz的本征态只有很少的一部分是J2的本征态。{J2,Jz}只有偶发的共同本征态，且有特定的结构，这在一定程度上反映了J2与Jz之间的角色关系。
其实，微观粒子并无轨道的概念，故接下来我们只用角动量的说法；相应地，自旋就是自旋，不必要引入自旋角动量的说法。
2 角动量的本征值问题
2.1 角动量的一般性质
在量子力学中，对角动量的分量形式，Jx=ypz-zpy,Jy=zpx-xpz, Jz=xpy-ypx，引入替换pα→-iℏ∂α，则容易证明角动量满足对易关系[J,J]=iℏJ，且有[J2,Jx]=0，[J2,Jy]=0，[J2,Jz]=0。为了用物理现实的视角看待轨道角动量问题，我们引入基于同空间参照系相联系的占据数表示的态矢空间{n1, n2, n3; nk=0, 1, 2, …}。
首先引入升降算符ak+, ak来表示坐标与动量算符：
其中Δ是量纲为[L]的参数。由正则对易关系[q,p]=iℏI可知，算符ak, ak+满足对易关系：
如此则有表示：
和：
其中nk=ak+ak，k=1, 2, 3。
采用无量纲算符ak, ak+的表示保持了角动量原有的对易关系。此外，由升算符ak+可由真空态|0>构造算符nk=ak+ak的本征态|nk>，故与空间参照系相联系的态矢空间{|n1, n2, n3>; nk=0,1,2,…}可作为进一步讨论的基础。这样的做法源于关于正则共轭变量对q,p及其状态矢量的表示，保证了角动量是物理空间中的运动量的性质。
2.2 jz视角下的角动量本征值问题
考察角动量分量Jz=iℏ(a1a2+-a1+a2)，容易验证它和数算符
对易，
因为此关系的存在，故只需要在每一个nb有确定本征值nb=n1+n2(nb为正整数)的{|n1, n2, n3>}子空间中构造Jz的本征态，其可以由有限数目的这种形式的态矢叠加而成，这大大简化了问题。接下来为简单计，取ℏ=1。
配资炒股从最简单的nb=1开始。所涉及的子空间的基态矢包括|1, 0, n3>, |0, 1, n3>，Jz的本征值问题为
解得m=±1，相应地：
接着有：
形式的态，共4项，这是原来的基态矢集中没有的元素。显然只当n3=0, 1时，(9)式才构成J2的本征态问题，J2|>=λ|>，解得λ=2, 6，相应的J2的本征态为
对于|m=-1>，可得到同样的结论。
对于nb=2，所涉及的子空间的基态矢包括|2, 0, n3>, |1, 1, n3>, |0, 2, n3>，如上解Jz的本征值问题，可得本征值为m=±2，相应的本征态矢为
将算符J2作用到相应的Jz的本征态上：
可见只当n3=0, 1时，它们才是J2的本征态，对应本征值分别为λ=6, 12。
对|m=-2>作用的结果得到同样的结论。
对于nb=3，所涉及的子空间的基态矢包括|3, 0, n3>, |1, 2, n3>, |2, 1, n3>, |0, 3, n3>，如上解jz的本征值问题，可得本征值为m=±3;±1，相应的本征态矢为
将算符J2作用到相应的Jz的本征态上，以|m=3>为例，
形式的态，共6项。同样是只当n3=0,1时，式(15)构成算符J2的本征值问题，相应的本征值为λ=12, 20。
对于nb=3时的态矢|m=-3>，|m=1>，|m=-1>，可得到同样的结论。上述结果启发我们，存在偶发的(sporadic)(J2,Jz)的共同本征态，且本征值表现出某种结构。
对于nb=4，所涉及的子空间的基态矢包括|4, 0, n3>, |3, 1, n3>, |2, 2, n3>, |1, 3, n3>, |0, 4, n3>，如上解Jz的本征值问题，可得本征值为m=±4;±2，相应的本征态矢为
以|m=4>为例计算J2|m=4>，同样是出现了形式的态，此处共8项。只当n3=0, 1时，才构成算符J2的本征值问题，相应的本征值为λ=20, 30。针对nb=4情形下的|m=-4>, |m=2>, |m=-2>态，可得到同样的结论。
继续针对nb=n1+n2的{|n1, n2, n3>}子空间构造Jz的本征态，计算算符J2作用于其上的结果，可得到同样的结论。实际上，可以得到算符nb与Jz的共同本征态|nb=m; jz=mℏ>的普遍表示。|nb=m; jz=mℏ>，如前简记为|m>，处于n1+n2=m的{|n1, n2, n3>}子空间中，具体为
解本征值问题Jz|m>=m|m>，可得本征态矢的一般表示：
。此表达式比只靠对易关系给出的表示明显包含更多的物理信息。在从对易关系得到的理论中，|m>只是一个符号，但在此处它是态矢空间{|n1, n2, n3>}中确定的子空间{|n1+n2=m, n3>}中的一个状态矢量。Jz的本征值为±m, ±(m-2),……，取值间隔为2，但不能为0。只当n3=0,1时，|m>才是J2的本征态，本征值分别为λ=m(m+1), (m+1)(m+2)。此外，在|m>的表示中包含n3这个未定的因素或曰自由参数，这是此前的理论不可能发掘到的信息。这恰恰反映了轨道角动量分量存在于低一个维度空间里的现实。
2.3 J2视角下的角动量本征值问题
换个角度，从平方算符J2出发来探讨(J2, Jz)的共同本征态。容易验证，角动量平方算符J2与算符nt=n1+n2+n3=a1+a1+a2+a2+a3+a3对易，
算符J2与nt有共同本征态，这样就可方便地在特定nt的{|n1, n2, n3>}子空间里表示J2。对于本征值nt=n1+n2+n3给定的情形，该子空间由
分成四个闭合的等价类，且其中数量相同的3类所包含的基矢量集具有排列对称性(permutation)，这反映的恰是算符J2的内在对称性。对于nt=1，所涉及的子空间的3个基态矢包括|1, 0, 0>, |0, 1, 0>, |0, 0, 1>，其都是J2的本征态，相应的本征值λ=2。|1, 0, 0>, |0, 1, 0>可以叠加出Jz的本征态，见式(8)。
对于nt=2，所涉及的子空间的6个基态矢包括|2, 0, 0>, |0, 2, 0>, |0, 0, 2>, |1, 1, 0>, |1, 0, 1>, |0, 1, 1>。如上解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
容易验证，|λ=0>不是Jz的本征态。至于|λ=6>的态，考察Jz|1, 1, 0>为例，可见
，故叠加态|1, 0, 1>±i|0, 1, 1>是对应m=±1的本征态。共同本征值是稀疏的、偶发的。
对于nt=3，所涉及的子空间的10个基态矢包括|3, 0, 0>, |0, 3, 0>, |0, 0, 3>, |2, 1, 0>, |2, 0, 1>, |0, 2, 1>, |1, 2, 0>, |0, 1, 2>, |1, 0, 2>, |1, 1, 1>。算符J2作用到这些态上，根据结果可分成四个不同的闭合的等价类，分别为 |1, 1, 1>；|3, 0, 0>, |1, 2, 0>, |1, 0, 2>；|0, 3, 0>, |2, 1, 0>, |0, 1, 2>；|0, 0, 3>, |2, 0, 1>, |0, 2, 1>。具体地，
这是λ=12的本征态；它不是Jz的本征态。对于|3, 0, 0>, |1, 2, 0>, |1, 0, 2>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
对于|0, 3, 0>, |2, 1, 0> |0, 1, 2>构成的子空间解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
对于|0, 0, 3>, |2, 0, 1> |0, 2, 1>构成的子空间解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
这些态都不是Jz的本征态。
对于nt=4，所涉及的子空间的15个基态矢包括 |4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |3, 1, 0>, |3, 0, 1>, |0, 3, 1>, |1, 3, 0>, |0, 1, 3>, |1, 0, 3>；|1, 1, 2>；|2, 1, 1>, |1, 2, 1>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>。算符J2作用到这些态上，会将它们分成四个不同的闭合的等价类，分别为|2, 1, 1>, |0, 3, 1>, |0, 1, 3>；|1, 2, 1>, |1, 0, 3>, |3, 0, 1>；|1, 1, 2>, |1, 3, 0>, |3, 1, 0>；和|4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>。
对于|2, 1, 1>, |0, 3, 1>, |0, 1, 3>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
对于|1, 2, 1>, |1, 0, 3>, |3, 0, 1>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
对于|1, 1, 2>, |1, 3, 0>, |3, 1, 0>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
对于 |4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
除了|λ=0>(m=0)以外，上述这些态都不是Jz的本征态。{|λ=0>可能也不是Jz的本征态，可能是把结果为0，错当成0乘上原来的态了}
对于nt=5，所涉及的子空间的21个基态矢包括|5, 0, 0>, |0, 5, 0>, |0, 0, 5>； |4, 1, 0>, |4, 0, 1>, |0, 4, 1>, |1, 4, 0>, |0, 1, 4>, |1, 0, 4>；|3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |0, 3, 2>, |2, 3, 0>, |0, 2, 3>, |2, 0, 3>；|2, 1, 2>, |2, 2, 1>, |1, 2, 2>；|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>。算符J2作用到这些态上，会将它们分成四个不同的闭合的等价类，分别为|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>；|5, 0, 0>, |3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |1, 0, 4>, |1, 4, 0>, |1, 2, 2>；|0, 5, 0>, |0, 3, 2>, |2, 3, 0> , |4, 1, 0>, |0, 1, 4>, |2, 1, 2>；|0, 0, 5>, |0, 2, 3>, |2, 0, 3>, |4, 0, 1>，|0, 4, 1>, |2, 2, 1>。
对于|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得：
对于 |5, 0, 0>, |3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |1, 0, 4>, |1, 4, 0>，|1, 2, 2>构成的子空间，解本征值问题J2| >=λ| >，可得λ=2, 12, 30。
对另外的类似的两组基态矢，结果分别为
以及：
对于nt=6，所涉及的子空间的28个基态矢包括 |6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>； |5, 1, 0>, |5, 0, 1>，|0, 5, 1>, |1, 5, 0>, |0, 1, 5>, |1, 0, 5>；|4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>；|1, 4, 1>, |1, 1, 4>, |4, 1, 1>； |3, 3, 0>, |3, 0, 3>, |0, 3, 3>；|3, 2, 1>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>, |2, 3, 1>, |1, 2, 3>, |2, 1, 3>；|2, 2, 2>。算符J2作用到这些态上，会将它们分成不同的等价类，分别为|6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>, |4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>, |2, 2, 2>；|5, 1, 0>, |1, 5, 0>, |1, 1, 4>, |3, 3, 0>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>；|5, 0, 1>, |1, 0, 5>, |1, 4, 1>, |3, 0, 3> , |1, 2, 3>, |3, 2, 1>；以 及 |0, 5, 1>, |0, 1, 5>, |4, 1, 1>, |0, 3, 3>, |2, 3, 1>, |2, 1, 3>。
针对|5, 1, 0>, |1, 5, 0>, |1, 1, 4>, |3, 3, 0>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>构成的子空间求解本征值问题J2| >=λ| >，可得λ=6, 20, 42。针对|5, 0, 1>, |1, 0, 5>, |1, 4, 1>, |3, 0, 3>, |1, 2, 3>, |3, 2, 1>构成的子空间和针对|0, 5, 1>, |0, 1, 5>, |4, 1, 1>, |0, 3, 3>, |2, 3, 1>, |2, 1, 3>构成的子空间求解本征值问题，结果与此相同。针对|6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>；|4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>；|2, 2, 2>构成的子空间解本征值问题J2| >=λ| >，可得λ = 0, 20, 42。
具体的本征矢量表达式太长，且与前述结果可相类比，故此处从略。它们都不是Jz的本征态。
我们看到，可以在nt=n1+n2+n3给定的{|n1, n2, n3>}的子空间中找到J2的本征态。除了nt=1, 2的情形外，这些J2的本征态都不可能是Jz的本征态。这个结论与上节中从Jz出发得到的结论吻合。
3 结束语
长期以来，空间转动群生成元的表示|jm>被误当作量子力学中的轨道角动量的表示，我们的角动量理论对此给予了纠正。利用来自坐标—动量的升降算符，基于与空间参照系相结合的占据态表示{n1, n2, n3; nk=0, 1, 2, …}，这让关于角动量的表示始终是物理的而非简单地是代数的。我们看到Jz与nb=n1+n2对易而J2与nb=n1+n2+n3对易，这为构建它们的本征态提供了一个简便有效的途径。结果表明J2与Jz具有稀疏的共同本征态。只当n3=0, 1时，那些由nb=n1+n2限定的{n1, n2, n3}子空间中构造的jz的本征态才是J2的本征态，且本征值分别为±m, ±(m-2), …(m≠0)；λ=m(m+1), (m+1)(m+2)。那些由nt=n1+n2+n3限定的{n1, n2, n3}子空间中构造的J2的本征态，J2作用到
个基矢量上的结果总是按照l1+3l2分成四个闭合的等价类，三个数目相同的等价类具有排列不变性，反映了J2的固有对称性；只在nt=1, 2的情形下才有Jz的本征态，任何nt≥3的J2的本征态都不是Jz的本征态。在具体的涉及角动量的量子力学问题中，诸如朗道能级问题[13]、自旋—轨道耦合问题等，我们的理论能提供简单有效的求解路径，并有助于发掘本征态/本征值的内在结构。
参考文献
[1] Planck M. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft，1900，2：202
[2] 曹则贤. 黑体辐射. 北京：世界图书出版公司，2024
[3] Planck M. La loi du rayonnement noir et l’hypothèse des quantités élémentaires d’ation (黑体辐射定律与作用量之单元的假设). In：Langevin P，de Broglie M (eds.). La théorie du rayonnement et les quanta. Gauthier-Villars，1912. pp.93—114
[4] 曹则贤. 量子力学：巨匠与脚手架. 北京：世界图书出版公司，2026
[5] Cline D. Variational Principles in Classical Mechanics，Third edition. University of Rochester，2021
[6] Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik(群论与量子力学). S. Herzel，1928
[7] Yamanouchi T. Quantum Mechanics，In：E. Roubine (ed.). Mathematics Applied to Physics. Springer，1970
[8] Born M. Zeitschrift für Physik，1926，35：557
[9] Schrödinger E. Annalen der Physik，1926，79：361
[10] Casimir H. Rotation of a Rigid Body in Quantum Mechanics. Groningen，1931
[11] Schwinger J. On Angular Momentum. Nuclear Development Associates，Inc.，1952
[12] 汪克林，曹则贤. 物理，2025，54(5)：344
[13] Landau L. Zeitschrift für Physik，1930，64 (9-10)：629
（参考文献可上下滑动查看）
欢迎订阅2026年《物理》杂志
期刊介绍
01
《物理》是由中国科学院物理研究所和中国物理学会主办的权威物理类中文科普期刊，注重学科性与科普性相结合，秉承“轻松阅读，享受物理”的办刊理念，集学科大家之力，追踪物理学成果，服务物理学领域，促进学科交叉，让科学变得通俗易懂。已成为我国众多物理专业的大学生、研究生、物理学家案头常读的刊物之一。
作者：众多活跃在科研、教学一线的院士、专家。
读者：物理学及其相关学科(如化学、材料学、生命科学、信息技术、医学等)的研究人员、教师、技术开发人员、科研管理人员、研究生和大学生，以及关注物理学发展的读者。
栏目：特约专稿、评述、热点专题、前沿进展、实验技术、研究快讯、物理攫英、物理学史和物理学家、物理学漫谈、物理教育、人物、科学基金、物理新闻和动态、书评和书讯等。
期刊订阅
02
订阅方式：编辑部直接订阅优惠价240元/年，全国包邮。
方式1
- 微信订阅 -
(此订阅方式仅针对需要对公开电子发票的读者，且务必提供正确的单位名称和单位税号)
在“物理所财务处”微信公众号缴费，操作如下：公号下方“业务办理”-“订刊费”-收费部门“《物理》编辑部”，之后填写相应信息。如有问题，可添加编辑微信咨询：18627635857。
方式2
- 银行汇款 -
开户行：中国农业银行北京科院南路支行
户 名：中国科学院物理研究所
帐 号：11250101040005699
（请注明“《物理》编辑部”，汇款成功后请及时联系编辑部登记邮寄地址）
编辑部联系方式：
咨询电话：010-82649277；82649029
Email：physics@iphy.ac.cn
赠阅活动
03
为答谢广大读者长期以来的关爱和支持，《物理》编辑部特推出优惠订阅活动：凡直接向编辑部连续订阅2年《物理》杂志，将获赠《岁月有情- <物理> 50周年纪念本》。内有自1972年至2022年《物理》发表的50篇精选文章信息，扫描对应的二维码，可重温经典之作，感悟物理科学的真谛，领略学科大家的风采。希望读者们爱上《物理》!
元股证券官方开户平台提示：本文来自互联网，不代表本网站观点。
